前缀和与差分

前缀和

模板

一维前缀和

S[i] = a[1] + a[2] + ... a[i]
a[l] + ... + a[r] = S[r] - S[l - 1]

二维前缀和

S[i, j] = 第i行j列格子左上部分所有元素的和
以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵的和为：
S[x2, y2] - S[x1 - 1, y2] - S[x2, y1 - 1] + S[x1 - 1, y1 - 1]

一维差分

给区间[l, r]中的每个数加上c：B[l] += c, B[r + 1] -= c

二维差分

给以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵中的所有元素加上c：
S[x1, y1] += c, S[x2 + 1, y1] -= c, S[x1, y2 + 1] -= c, S[x2 + 1, y2 + 1] += c

例题

一维前缀和

输入一个长度为 n 的整数序列。

接下来再输入 m 个询问，每个询问输入一对 l,r。

对于每个询问，输出原序列中从第 l 个数到第 r 个数的和。

输入格式

第一行包含两个整数 n 和 m。

第二行包含 n 个整数，表示整数数列。

接下来 m 行，每行包含两个整数 l 和 r，表示一个询问的区间范围。

输出格式

共 m 行，每行输出一个询问的结果。

数据范围

1≤l≤r≤n,
1≤n,m≤100000，
−1000≤数列中元素的值≤1000

输入样例：

5 3
2 1 3 6 4
1 2
1 3
2 4

输出样例：

3
6
10

代码

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1e5+10;
int n,m,l,r;
int a[N],s[N];
int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
    for(int i = 1; i <= n; i++) s[i] = s[i-1] + a[i];
    for(int i = 0; i < m; i++) 
    {
        cin >> l >> r;
        cout << s[r] - s[l-1] << endl;
    }
	return 0;
	
}

二维前缀和

输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个询问，每个询问包含四个整数 x1,y1,x2,y2表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。

输入格式

第一行包含三个整数 n，m，q。

接下来 n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。

接下来 q 行，每行包含四个整数 x1,y1,x2,y2，表示一组询问。

输出格式

共 q 行，每行输出一个询问的结果。

数据范围

1≤n,m≤1000,
1≤q≤200000,
1≤x1≤x2≤n,
1≤y1≤y2≤m,
−1000≤矩阵内元素的值≤1000

输入样例：

3 4 3
1 7 2 4
3 6 2 8
2 1 2 3
1 1 2 2
2 1 3 4
1 3 3 4

输出样例：

17
27
21

代码

#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 1010;
int a[N][N],s[N][N];

int main()
{
    int x1,x2,y1,y2;
    int n, m, q;
    cin >> n >> m >> q;
    for(int i = 1;i <= n ;i++ )
        for(int j = 1; j <= m ;j++ )
            {
                cin >> a[i][j];
                s[i][j] = s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1] + a[i][j];
            }
    for(int i = 1;i <= q ;i++ )
    {
        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
        cout << s[x2][y2] - s[x2][y1-1] - s[x1-1][y2] + s[x1-1][y1-1] << " ";
        cout << endl;
    }
}

一维差分

输入一个长度为 n 的整数序列。

接下来输入 m 个操作，每个操作包含三个整数 l,r,c，表示将序列中 [l , r] 之间的每个数加上 c。

请你输出进行完所有操作后的序列。

输入格式

第一行包含两个整数 n 和 m。

第二行包含 n 个整数，表示整数序列。

接下来 m 行，每行包含三个整数 l，r，c表示一个操作。

输出格式

共一行，包含 n 个整数，表示最终序列。

数据范围

1≤n,m≤100000,
1≤l≤r≤n,
−1000≤c≤1000,
−1000≤整数序列中元素的值≤1000

输入样例：

6 3
1 2 2 1 2 1
1 3 1
3 5 1
1 6 1

输出样例：

3 4 5 3 4 2

代码

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1e5+10;
int a[N],b[N];

void insert(int l, int r,int c)
{
    b[l]+=c;
    b[r+1]-=c;
}

int main()
{
    int n,m,l,r,c;
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1;i <= n ;i++)
    {
        cin >> a[i];
        insert(i,i,a[i]);
    }
    for(int i = 1;i <= m ;i++)
    {
        cin >> l >> r >> c;
        insert(l,r,c);
    }
    for(int i = 1;i<=n;i++)
    {
        b[i]+= b[i-1];
        cout << b[i] << " ";
    }
    return 0;
}

二维差分

输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个操作，每个操作包含五个整数 x1,y1,x2,y2，其中 (x1,y1)) 和 (x2,y2) 表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上 c。

请你将进行完所有操作后的矩阵输出。

输入格式

第一行包含整数 n,m,q。

接下来 n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。

接下来 q 行，每行包含 5个整数 x1, y1, x2, y2, c 表示一个操作。

输出格式

共 n 行，每行 m 个整数，表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。

数据范围

1≤n,m≤1000，
1≤q≤100000,
1≤x1≤x2≤n,
1≤y1≤y2≤m,
−1000≤c≤1000,
−1000≤矩阵内元素的值≤1000

输入样例：

3 4 3
1 2 2 1
3 2 2 1
1 1 1 1
1 1 2 2 1
1 3 2 3 2
3 1 3 4 1

输出样例：

2 3 4 1
4 3 4 1
2 2 2 2

代码

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int a[N][N],b[N][N];
int n,m,q;
int c;


void insert(int x1,int y1,int x2,int y2,int c)
{
    b[x1][y1] += c;
    b[x2+1][y1] -= c;
    b[x1][y2+1] -= c;
    b[x2+1][y2+1] += c;
}

int main()
{
    int x1,x2,y1,y2,c;
	cin >> n >> m >> q;
	for(int i = 1; i <= n; i++)
	{
	    for(int j = 1; j <= m; j++)
	    {
	        cin >> a[i][j];
	        insert(i,j,i,j,a[i][j]);
	    }
	}
	for(int i = 0; i < q; i++)
	{
	    cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2 >> c;
	    insert(x1,y1,x2,y2,c);
	}
	for(int i = 1; i <= n; i++)
	{
	    for(int j = 1; j <= m; j++)
	    {
	        b[i][j] += b[i-1][j] + b[i][j-1] - b[i-1][j-1];
	        cout << b[i][j] << " ";
	    }
	    cout << endl;
	}
	return 0;
}